Estrutura Curricular

Para obtenção do título de Mestre no Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, o aluno deve cumprir os seguintes requisitos:

  1. Completar, no mínimo, 56 (cinquenta e seis) créditos em atividades acadêmicas, sendo, no mínimo:

    Os 8 (oito) créditos referentes a Atividades Complementares poderão ser obtidos por:

    • Disciplinas de seminários, limitado a um total de 4 créditos
    • Estágio docência, limitado a um total de 4 créditos
    • Disciplinas de pós-graduação da área de Matemática/Matemática Aplicada
    • Minicursos em nível de pós-graduação na área de Matemática/Matemática Aplicada, limitado a um total de 4 créditos.

  2. Ser aprovado em Exame de Proficiência na Língua Inglesa;
  3. Ser aprovado no Exame de Qualificação.
 

Exame de Proficiência na Língua Inglesa

O exame de proficiência na língua inglesa, consiste de prova escrita elaborada por um membro do corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada da Unifesp, que visa a aferição da capacidade de compreensão e elaboração de textos básicos na língua inglesa.

 

Exame de Qualificação

O exame de qualificação do mestrado, constitui-se da realização de provas escritas de duas das seguintes disciplinas:

  • Álgebra Linear
  • Álgebra Linear Computacional
  • Análise no ℝn I

Estas provas são aplicadas duas vezes por ano. Cada estudante tem um prazo de até 3 semestres para ser aprovado no exame de qualificação.
As normas para o exame de qualificação são dadas na Resolução 05/2019.

 

Dissertação de Mestrado

A dissertação de mestrado é o texto resultante de trabalho supervisionado, que demonstre capacidade de sistematização crítica do conhecimento acumulado sobre o tema tratado e de utilização de métodos e técnicas de investigação científica, tecnológica na área de matemática, visando desenvolvimento acadêmico ou profissional.

A comissão julgadora da dissertação deverá ser composta por 3 membros titulares, 2 suplentes que substituirão algum membro titular em caso de impedimento e 1 presidente que coordenará os trabalhos.

O orientador deverá ser o presidente da Comissão Julgadora, que não arguirá o candidato e não emitirá parecer. Na falta ou impossibilidade do orientador, a CEPG designará um substituto. Entre os membros titulares da Comissão Julgadora não poderá figurar o orientador nem o(s) coorientador(es).

A elaboração da dissertação de mestrado deverá seguir o formato do template abaixo.

Template para dissertação de mestrado

 

Disciplinas obrigatórias

As normas para obtenção de créditos em disciplinas obrigatórias são dadas pela Resolução 06/2019.

Álgebra Linear
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Espaços vetoriais sobre um corpo arbitrário e transformações lineares. Polinômio característico, minimal e Teorema de Cayley-Hamilton. Triangularização e diagonalização de operadores lineares. Forma racional e de Jordan. Espaços vetoriais com produto interno. Funcionais lineares e espaço dual. Adjunta de uma transformação linear. Operadores auto-adjuntos, normais e unitários. Teoremas espectrais. Funções multilineares: determinantes, formas alternadas e produto tensorial de espaços vetoriais.
  • Bibliografia:
    • HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra, 2nd Ed., Pretice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971.
    • KOSTRIKIN, A.; MANIN, Y. Linear Algebra and Geometry, Gordon and Breach, 1989.
    • COELHO, F. U.; LOURENÇO, M. L.; Um Curso de Álgebra Linear. 2a Ed., EDUSP, 2005.
    • GREUB, W. Multilinear Algebra, 2nd Ed., Springer, New York, 1978.
    • ROMAN, S. Advanced Linear Algebra, 2nd Ed., Springer, New York, 2005.

Álgebra Linear Computacional
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Normas de matrizes. Condicionamento e estabilidade. Decomposição SVD, Fatoração LU, Fatoração de Cholesky, Fatorações QR, Quadrados mínimos. Métodos numéricos para resolução de sistemas lineares: diretos e iterativos. Autovalores e autovetores: Fatoração de Schur, Forma Hessenberg, Teorema de Gerschgorin, Teorema de Bauer-Fike, Métodos numéricos.
  • Bibliografia:
    • TREFETHEN, L. N.; BAU, D. Numerical Linear Algebra. 1a ed. SIAM, Philadelphia, 1997.
    • GOLUB, G. H.; VAN LOAN, C. Matrix Computations. 3a ed. The Johns Hopkins University Press, Londres, 1996.
    • WATKINS, D. S. Fundamentals of Matrix Computations.2a ed. Wiley-Interscience, New York, 2002.
    • QUARTERONI, A.; SACCO, R.; SALERI, F. Numerical Mathematics. 2a ed. Springer, New York, 2007.
    • PRESS, W.; FLANNERY, B. P.; TEUKOLSKY, S. A.; VETTERLING, W. T. Numerical Recipes: the art of scientific computing. 3a ed. Cambridge, 2007.
    • MEYER, C. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2001.

Análise no ℝn I
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Topologia de Rn: conjuntos abertos, conjuntos fechados, ponto interior, ponto de acumulação, ponto de fronteira, compacidade, teorema de Heine-Borel, conjuntos conexos, limites. Funções contínuas: propriedades locais das funções contínuas, preservação da compacidade, preservação da conexidade, continuidade uniforme, funções de Lipschitz, tranformações lineares, teorema do ponto fixo para contrações, teorema do ponto fixo de Brouwer. Funções diferenciáveis: a derivada em Rn, derivadas direcionais, regra da cadeia, teoremas do valor médio, Teorema de Schwarz, Fórmulas de Taylor, Teorema da Função Inversa e Teorema da Função Implícita, problemas de extremos. Valores Regulares: Multiplicadores de Lagrange, forma local das imersões, forma local das submersões, teorema do posto.
  • Bibliografia:
    • R. G. Bartle, The Elements of Real Analysis. John Wiley and Sons, USA, 1976.
    • P. M. Fitzpatrick, Advanced Calculus. Pure and Applied Undergraduate Texts, American Mathematical Society, 2009.
    • E. L. Lima, Análise Real volume 2. IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
    • E. L. Lima, Curso de Análise vol. 2. IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
    • J. R. Munkres, Analysis on Manifolds. Advanced Book Classics, Westview Press, USA, 1991.
    • W. Rudin, Principles of mathematical analysis. 3 ed. New York: McGraw-Hill, 1979.
    • M. Spivak, Calculus on Manifolds: a modern approach to classical theorems of advanced calculus. Addison-Wesley Publishing Company, USA, 1965.

 

Disciplinas eletivas

Álgebra
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Teoria de grupos: conceitos básicos; Grupos cíclicos, simples e solúveis; Teoremas de Lagrange, de Cayley e de Sylow; produto semidireto e direto. Teoria de anéis e ideais: conceitos básicos; anéis principais, euclidianos e fatoriais; anéis de polinômios sobre anéis comutativos; anel quociente; corpo de frações de um domínio de integridade. Módulos: conceitos básicos; módulos livres e de torsão; produto e soma direta; teoremas estruturais. Aplicações.
  • Bibliografia:
    • COHN, P. M., Algebra, vol. II, Wiley & Sons, London, 1977.
    • GARCIA, A.; LEQUAIN, Y., Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, RJ, 2012.
    • GONÇALVES, A., Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, RJ, 2012.
    • HERSTEIN, I. Tópics in Algebra, 2ª ed. New York, Wiley, 1975.
    • JACOBSON, N., Basic Algebra I, Freeman, San Francisco, 1974.
    • LANG, S. Algebra, 3. ed., Addison-Wesley, 1995.
    • POLCINO MILIES, F.C. Anéis e Módulos, São Paulo, IME-USP, 1972.

Álgebras de Lie
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Definições, exemplos e construções básicas: álgebras de Lie, subálgebras, ideais, homomorfismos, representações, subrepresentações, homomorfismo de representações, representação adjunta, derivações, produto semidireto de álgebras, produto tensorial de representações. Álgebras solúveis e nilpotentes: Teoremas de Engel e de Lie, Critério de Cartan para solubilidade, forma de Cartan-Killing e critério para semissimplicidade. Álgebras semissimples: propriedades, estrutura, classificação e o teorema da completa redutibilidade de representações. Álgebra universal envelopante e o Teorema de Poicaré-Birkhoff-Witt. Álgebras de Lie dadas por geradores e relações.
  • Bibliografia:
    • HUMPHREYS, J. E. Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1972.
    • SAN MARTIN, L. A. B. Álgebras de Lie, 2a edição, Editora da Unicamp, 2010.
    • FULTON, W.; HARRIS, J. Representation theory: a first course, Springer, 1991.

Análise Complexa
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Números Complexos; Sequências convergentes e Séries; Continuidade; Transformações de Möebius; Derivada complexa; Funções Analíticas; Integração complexa de linha; Teorema de Cauchy; Fórmula Integral de Cauchy; Teorema de Liouville; Princípio do módulo máximo; Teorema Fundamental da Álgebra; Singularidades; Resíduos; Desenvolvimento em Séries de Taylor e Laurent; Funções harmônicas; Fórmula de Poisson; Teorema da Aplicação de Riemann.
  • Bibliografia:
    • CONWAY, J. Functions of One Complex Variable, Vol1., Springer, 1978.
    • RUDIN, W. Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966.
    • AHLFORS, L. Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966.
    • FREITAG, E.; BUSAN, R. Complex Analysis, Springer, 2009.
    • NACHBIN, A.; ZÁRATE, R. Tópicos Introdutórios à Análise Complexa Aplicada, Publicações Matemáticas 26º Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 2007.
    • BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Complex variables and Applications, McGraw-Hill, 1995.

Análise do ℝn II
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Integração: Existência da integral, Teorema de Fubini, conjuntos de medida nula, caracterização das funções integráveis, conjuntos retificáveis, integral imprópria. Mudança de Variáveis: Partições da unidade, teorema de mudança de variáveis, difeormorfismos em Rn, aplicações. Variedades em Rn: Volume de um paralelepípedo, volume de variedades parametrizadas, integração de funções a valores reais sobre uma variedade. Formas Diferenciais: Álgebra Multilinear, tensores, produto tensorial, operador diferencial, formas diferenciais exatas, formas diferenciais fechadas. Teorema de Stokes: Variedades orientáveis, integração de formas diferenciais sobre variedades orientáveis, teorema de Stokes generalizado.
  • Bibliografia:
    • R. G. Bartle, The Elements of Real Analysis. John Wiley and Sons, USA, 1976.
    • P. M. Fitzpatrick, Advanced Calculus. Pure and Applied Undergraduate Texts, American Mathematical Society, 2009.
    • E. L. Lima, Análise Real volume 2. IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
    • E. L. Lima, Curso de Análise vol. 2. IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
    • J. R. Munkres, Analysis on Manifolds. Advanced Book Classics, Westview Press, USA, 1991.
    • W. Rudin, Principles of mathematical analysis. 3 ed. New York: McGraw-Hill, 1979.
    • M. Spivak, Calculus on Manifolds: a modern approach to classical theorems of advanced calculus. Addison-Wesley Publishing Company, USA, 1965.

Aplicações de Sistemas Dinâmicos em Ciência e Tecnologia
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Equações diferenciais não-lineares, Plano de fase, autovalores e autovetores, classificação do plano de fase, Álgebra linear em sistemas de dimensão elevada, Sistemas não lineares e pontos de equilíbrio, Bifurcações, Técnicas globais de análise, Ciclos limites, Órbitas fechadas e conjuntos limites, Aplicações em biologia, Aplicações em física, Aplicações em engenharia.
  • Bibliografia:
    • S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview, second ed. , 2014.
    • L. H. A. Monteiro, Sistêmas Dinâmicos. Livraria da Física, São Paulo, quarta edição, 2019
    • M. W. Hirsh, S. Smale and R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems & An Introduction to Chaos. Elsevier, third ed. , 2012

Códigos Corretores de Erros
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Conceitos básicos de códigos, Definição e propriedades de grupos, anéis, anéis de polinômios e anéis quociente, corpos finitos, Códigos lineares, Códigos duais, Métricas de Hamming e de Lee, Códigos de Hamming, Códigos Perfeitos, Códigos Cíclicos, Códigos BCH, Códigos de Goppa, Algoritmos de decodificação.
  • Bibliografia:
    • HEFEZ, A.; VILLELA, M. L. T. Códigos Corretores de Erros, IMPA, Série de Computação e Matemática, 2002.
    • LAVOR, C. C.; ALVES, M. M. S.; SIQUEIRA, R. M.; COSTA, S. I. R. Uma introdução à Teoria dos Códigos Corretores de Erros, SBMAC, 2012.
    • MACWILLIAMS, F. J.; SLOANE, N. J. A. The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, 1988.
    • CONWAY, J., SLOANE, N. J. A. Sphere Packing, Lattices and Groups, 3rd ed, Springer, 1999.
    • PLESS, V. Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes, John Wiley and Sons, 1989.
    • HUFFMAN, W. C., PLESS, V. Fundamentals of Error-Correcting Codes, Cambridge Univ. Press, 2010.
    • PETERSON, W. W.; WELDON Jr., E. J., Error-Correcting Codes, The Massachusetts Institute of Technology, 1961.

Equações Diferenciais Ordinárias
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Teoremas de existência e unicidade, teoremas de continuidade e diferenciabilidade em relação às condições iniciais e parâmetros. Equações diferenciais lineares; Teorema de Liouville; Sistemas lineares hiperbólicos no plano e no Rn; Atratores e Repulsores. Equações autônomas; retrato de fase; conjuntos invariantes, singularidades (selas, nós, focos). Estabilidade de Liapunov; Teorema de Estabilidade de Liapunov; Estabilidade por primeira aproximação. Órbitas periódicas, transformação de Poincaré; ciclos estáveis no plano e fórmula de Poincaré. Teorema de Poincaré-Bendixon e aplicações, equação de Lienard.
  • Bibliografia:
    • ARNOLD, V. Equações Diferenciais Ordinárias. Moscou, Mir, 1985.
    • CODDINGTON, E. A.; LEVINSON, N. Theory of Ordinary Differential Equations. New York, McGraw-Hill, 1955.
    • DOERING, C. A.; LOPES, A. O. Equações Diferenciais Ordinárias. Rio de Janeiro, IMPA, 2005 (Coleção Matemática Universitária).
    • FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A. J. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro, IMPA, 1997 (Coleção Matemática Universitária).
    • SOTOMAYOR, J. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides, 1979.

Equações Diferencias Parciais
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Equações de primeira ordem. Método das características. Teorema de Cauchy-Kovalesvkaya. Introdução a teoria das distribuições. Transformada de Fourier. Equações semi-lineares de segunda ordem. Solução fundamental. Equação de onda. Separação de variáveis; Equação de Laplace. Equação do calor. Identidades de Green. Espaços de Sobolev e aplicações.
  • Bibliografia:
    • IORIO Jr., R.; IORIO, V. M. Equações diferenciais parciais: uma introdução, segunda edição, Rio de Janeiro, IMPA, 2010.
    • EVANS, L. Partial Differential Equations, second edition, N. York, AMS, 2010.
    • HOUNIE, J. Teoria Elementar das Distribuições, 12, CBM, IMPA, 1979.
    • JOHN, F. Partial Differential Equations, third edition, Springer-Verlag,1978.
    • BREZIS, H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, N. York, Springer, 2010.
    • FIGUEIREDO, D. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides, IMPA, 1997.

Introdução à Análise Funcional
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Definição e exemplos de espaços normados. Caracterizações de operadores lineares contínuos. Princípio da Limitação Uniforme e Teoremas do Gráfico Fechado e da Aplicação Aberta. Teoremas de extensão de Hahn-Banach. Dualidade e espaços reflexivos. Espaços com produto interno, ortogonalidade e Teorema de Riesz. Topologias fracas, Teorema de Banach-Alaoglu e temas relacionados.
  • Bibliografia:
    • Botelho, G., Pellegrino, D., Teixeira, E. Fundamentos de Análise Funcional. Rio de janeiro: SBM-IMPA, 2015.
    • Megginson, R. An Introduction to Banach Space Theory. Chicago: Springer Science & Business Media, 2012.
    • BACHMAN, G.; NARICI, L. Functional Analysis, N. York, Dover, 2000.
    • de OLIVEIRA, C. R. Introdução à Análise Funcional, Rio de Janeiro, IMPA, 2010
    • KREYSZIG, E. Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1978.
    • STEIN, E.; SHAKARCHI, R. Introduction to further topics in analisys, Princeton Lectures in Analysis, Princeton University Press, NJ, 2011.
    • H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, New York, 2011.

Introdução à Teoria Ergódica
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Espaços de medida: Espaços mensuráveis, Espaços de medida, Medida de Lebesgue, Aplicações mensuráveis. Integração em espaços de medida: Integral de Lebesgue, Teoremas de convergência, Produto de medidas, Derivação de medidas. Medidas em espaços métricos: Medidas regulares, Espaços métricos separáveis completos, Espaço das funções contínuas. Medidas Invariantes e Recorrência: Medidas invariantes, Teorema de recorrência de Poincaré, Exemplos (Expansão decimal, Transformação de Gauss, Rotações no círculo, Rotações em toros, Transformações conservativas, Fluxos conservativos). Existência de Medidas Invariantes: Topologia fraca*, Teorema de Existência de Medidas Invariantes. Teoremas Ergódicos: Teorema ergódica de von Neumann, Teorema ergódico de Birkhoff, Teorema ergódico subaditivo. Ergodicidade: Sistemas ergódicos, Exemplos, Propriedades das medidas ergódicas. Obs: Como este curso não pressupõe Teoria da Medida como pré-requisito, os conceitos de medida necessários para Teoria Ergódica serão todos ministrados, embora não necessariamente na ordem que aparecem citados.
  • Bibliografia:
    • Botelho, G., Pellegrino, D., Teixeira, E. Fundamentos de Análise Funcional. Rio de janeiro: SBM-IMPA, 2015.
    • Megginson, R. An Introduction to Banach Space Theory. Chicago: Springer Science & Business Media, 2012.
    • BACHMAN, G.; NARICI, L. Functional Analysis, N. York, Dover, 2000.
    • de OLIVEIRA, C. R. Introdução à Análise Funcional, Rio de Janeiro, IMPA, 2010
    • KREYSZIG, E. Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1978.
    • STEIN, E.; SHAKARCHI, R. Introduction to further topics in analisys, Princeton Lectures in Analysis, Princeton University Press, NJ, 2011.
    • H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, New York, 2011.

Introdução aos Sistemas Dinâmicos
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Sistemas dinâmicos discretos: definição, órbitas, pontos fixos e periódicos. Órbitas não-periódicas, conjuntos limites, órbitas densas, transitividade, recorrência. Conjugação topológica. Sistemas com comportamento assintóticamente estável – atratores; aplicações lineares e equações diferenciais lineares. Exemplos: rotações no círculo, aplicação tenda, fluxo linear no toro, outros exemplos. Número de rotação, difeomorfismos do círculo. Teorema de Denjoy. Linearização: teorema de Hartman e Grobman, aplicação shift, dinâmica simbólica. Sistemas caóticos: transitividade topológica, caos, entropia, sistemas (topologicamente) mixing e ergódicos. Noções de ergodicidade. Teorema de recorrência de Poincaré. Teorema ergódico de Birkhoff.
  • Bibliografia:
    • DE MELO, W.; PALIS J. Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Rio de Janeiro: IMPA, 1977..
    • OLIVEIRA, K. ; VIANA, M. Fundamentos da teoria ergódica. Rio de Janeiro: SBM, 2014.
    • BOYCE, W.E.; DiPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, 2002.
    • BRIN, M.; STUCK, G.; Introduction to Dynamical Systems, Cambridge, 2002.
    • DEVANEY, R.L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Addison Wesley, 1992.
    • DEVANEY, R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Westview Press (2003).
    • HIRSCH, M.W.; SMALE, S.; DEVANEY, R.L. Differential equations, dynamical systems and an introduction to chaos. London: Elsevier, 2003.
    • KATOK, A.; HASSELBLATT, B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

Matemática Discreta
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Princípios de contagem. Funções Geradoras. Números especiais. Partições de inteiros. Relações de recorrência. Enumeração via ação de grupos. Introdução à Teoria de Grafos. Aplicações.
  • Bibliografia:
    • STANLEY, R. P. Enumerative Combinatorics, Vol. 1, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, 2011.
    • LOVAZ, L.; PELIKAN, J.; VESZTERGOMBI, K. Matemática Discreta, SBM, 2005.
    • ANDREWS, G. E. The theory of partitions, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (Rota, Editor), Vol. 2, G.-C., Addison-Wesley, Reading, 1976.
    • SANTOS, J. P. O.; MELLO, M. P.; MURARI, I. T. C. Introdução à Análise Combinatória, Editora Ciência Moderna, 2008.
    • LOEHR, N. A. Bijective Combinatorics, CRC Press, Discrete Mathematics and its applications, 2011.
    • BÓNA, M. Combinatorics of Permutations, Second Edition, CRC Press, Discrete Mathematics and its applications, 2012.
    • TRUDEAU, R. J. Introduction to Graph Theory, Dover Publications, New York, 1993.
    • AIGNER, M. A course in enumeration. Springer. 2007.

Medida e Integração
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Medidas e extensão de medidas. Funções mensuráveis. Integração; teoremas básicos de convergência; espaços Lp. Relação entre as integrais de Lebesgue e de Riemann própria e imprópria. Medida produto; teorema de Fubini. Medidas com sinal e medidas complexas; teoremas de decomposição; continuidade absoluta; o teorema de Radon-Nikodym. Teorema de diferenciação de Lebesgue. Teorema Fundamental do Cálculo para a Integral de Lebesgue.
  • Bibliografia:
    • BARTLE, R. G. Elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley & Sons, Inc., 1966.
    • de CASTRO Jr., A. A. Curso de Teoria da Medida, Rio de Janeiro, IMPA, segunda edição, 2008.
    • FERNANDEZ, P. J. Medida e Integração, Rio de Janeiro, IMPA, CNPq, 1976.
    • FOLLAND, G. B. Real Analysis - Modern Techniques and Their Applications, Wiley, 1999.
    • ROYDEN, H. L. Real Analysis, The Macmillan Company, New York, 1968.
    • RUDIN. W. Real and Complex Analysis, McGraw Hill, Inc., 1968.

Métodos Numéricos em Equações Diferencias
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Equações diferenciais ordinárias. Métodos de um passo (Runge-Kutta). Métodos de múltiplos passos, implícitos e explícitos. Controle de passo: Runge- Kutta-Felberg. Estabilidade dos métodos. Problemas de stiff.– Equações diferenciais parciais. Ideias básicas de diferenças finitas, condições de contorno. Considerações teóricas: convergência, consistência, estabilidade, o teorema de Lax. Análise de estabilidade via transformada de Fourier e Teorema de Gerschgorin. Equações parabólicas 2D: convergência, estabilidade, ADIU. Equações elípticas 2D. Condições de Dirichlet e Neumann. Equações hiperbólicas 1D, upwind, centrada, Lax-Wendroff, alguns métodos implícitos, condição Courant-Friedrichs-Lewy. Dispersão e Dissipação: algumas ideias. Solução descontínua, dificuldades. Leis de conservação 1D: caso escalar.
  • Bibliografia:
    • BUCHANAN, J. L.; TURNER, P. R. Numerical Methods and Analysis, McGraw- Hill, 1992.
    • CUNHA, M. C. Métodos Numéricos, 2a Edição, Editora da Unicamp, 2001.
    • THOMAS, J. W. Numerical Partial Differential Equations, Volume 1 Springer, 1995.

Programação Linear
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Introdução: Definição e exemplos de aplicações da programação linear. Teoria básica: propriedades relativas à factibilidade e à Otimalidade das soluções. Métodos primais: métodos simplex e de pontos interiores. Dualidade em programação linear. Métodos duais: métodos dual-simplex, primal-dual e de pontos interiores.
  • Bibliografia:
    • LUENBERGER, D. G.; YE, Y. Linear and Nonlinear Programming. Springer, 3rd edition, 2008.
    • BAZARAA, M. S.; JARVIS, J. J.; SHERALI, H. D. Linear Programming and Network Flows, Wiley Interscience, 2005.
    • BERTSIMAS, D.; TSITSIKLIS, J. N. Introduction to Linear Optimization, Athena Scientific, 1997.
    • VANDERBEI, R. Linear Programming Foundations and Extensions, Springer International, 2001.

Programação Não Linear
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Condições de Otimalidade: Problemas sem restrições, problemas com restrições de igualdade, problemas com restrições de igualdade e desigualdade. Condições de otimalidade de segunda ordem. Condições suficientes. Dualidade. Algoritmos para problemas sem restrições: minimização unidimensional, busca linear de Armijo, convergência global, método de máxima descida, métodos de Newton e Quasi-Newton, gradientes conjugados. Teoremas de convergência. Algoritmos para problemas com restrições: método de restrições ativas, penalidade externa, pontos interiores, Lagrangeano aumentado.
  • Bibliografia:
    • BERTSEKAS, D. Nonlinear Programming. Athena Scientific, 1999.
    • LUENBERGER, D. G.; YE, Y. Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley, (2008).
    • MARTINEZ, J. M.; SANTOS, S. A. Métodos Computacionais de Otimização, IMPA, 1995.
    • BAZARAA, M.; SHERALI, H.; SHETTY, C. Nonlinear Programming: Theory And Applications. 2nd Edition, John Wiley & Sons, 1993.
    • DENNIS, J. E.; SCHNABEL, R. B. Numerical Methods For Unconstrained Optimization And Nonlinear Equations. SIAM, 1996.
    • FRIEDLANDER, A. Elementos de Programação Não-Linear. Editora Unicamp. Campinas - São Paulo, 1994.
    • GILLl, P. E; MURRAY, W.; WRIGHT, M. Practical Optimization. Academic Press. Nova York, 1991.
    • SOLODOV, M.; IZMAILOV, A. Otimização, vol 1, Editora SBM, 2007.
    • SOLODOV, M.; IZMAILOV, A. Otimização, vol 2, Editora SBM, 2009.

Teoria de Galois
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Anéis de polinômios, Critérios de irredutibilidade, Corpos, Extensões de corpos, Grau de uma extensão, Números algébricos e transcendentes, Extensões finitas e algébricas, Extensões normais separáveis, o teorema do elemento primitivo, corpo de raízes de um polinômio, Teorema de Dedekind sobre a independência linear dos monomorfismos, independência algébrica dos monomorfismos e o teorema da base normal para corpos infinitos. O Fecho normal de uma extensão, Extensões de Galois, O grupo de Galois, O corpo fixo, Teorema da Correspondência de Galois, Extensões ciclotômicas e cíclicas, Construção com Régua e Compasso, Grupos solúveis, Solubilidade por radicais, extensões radicais, as soluções por radicais de equações polinomiais de grau menor ou igual a 4, insolubilidade da quíntica.
  • Bibliografia:
    • ENDLER, O. Teoria dos corpos, Monografias de Matemática, 44. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 1987.
    • GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, RJ, 2012.
    • JACOBSON, N. Basic Algebra I, Freeman, San Francisco, 1974.
    • KAPLANSKY, I. Introdução à Teoria de Galois, Notas de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1969.
    • Rotman, J. Galois Theory, Universitext, Springer-Verlag, 1990.
    • SAMUEL, P. Algebraic Theory of Numbers, Paris, Hermann, 1970.
    • STEWART, I. Galois Theory, Third edition, Chapman & Hall/CRC Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004.
    • STEWART, I. N.; TALL, D. Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, 3rd Edition, A K Peres/CRC Press, 2001.

Teoria dos Números
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Aritmética Modular. Lei da Reciprocidade Quadrática, Raízes Primitivas. Corpos finitos. Equações diofantinas. Extensões de corpos. Polinômios sobre corpos finitos. Funções aritméticas. Aplicações.
  • Bibliografia:
    • APOSTOL, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, New York, 1998.
    • HARDY, G. H.; WRIGHT, E. M. An introduction to the theory of numbers, 6ª Ed., Oxford University Press, 2008.
    • IRELAND, K, ROSEN, M., A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd Ed., Springer-Verlag, 1998.
    • MOREIRA, C. G. T. A., TENGAN, E. SALDANHA, N. C., MARTINEZ, F. B., Teoria dos Números, 4ª Ed., IMPA, 2015.
    • ROSEN, M., Number Theory in Function Fields, Springer-Verlag, 2002.
    • SANTOS, J. P. O. Introdução à teoria dos números, 2ª Ed., SBM-IMPA, 2009.

Topologia Geral
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Revisão da teoria dos conjuntos. Espaços topológicos. Operações em espaços topológicos. Conexidade. Compacidade. Introdução aos Espaços métricos e metrizáveis.
  • Bibliografia:
    • A. V. Arkhangel'skii, V. I. Ponomarev, Fundamentals of General Topology. D. Reidel Publishing Co., 1984.
    • R. Engelking, General Topology. Sigma Ser. Pure Math. 6, Heldermann, Berlin, 1989.
    • J. L. Kelley, General Topology. Graduate Texts in Mathematics 27, Springer-Verlag, New York, 1955.
    • J. R. Munkres, Topology. 2nd Ed., Prentice Hall, 2008.
    • I. A. Steen, J.A. Seebach Jr, Counterexamples in topology. Dover Publications, 2005.

Tópicos em Álgebra
  • Carga horária: 30 horas (2 créditos)
  • Ementa: Tópicos selecionados em Álgebra
  • Bibliografia: artigos e livros selecionados.

Tópicos em Álgebra e Aplicações
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Tópicos selecionados em Álgebra e aplicações
  • Bibliografia: artigos e livros selecionados.

Tópicos em Análise
  • Carga horária: 30 horas (2 créditos)
  • Ementa: Tópicos selecionados em Álgebra
  • Bibliografia: artigos e livros selecionados.

Tópicos em Análise e Aplicações
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Tópicos selecionados em Análise e aplicações
  • Bibliografia: artigos e livros selecionados.

Tópicos em Geometria e Dinâmica
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Tópicos selecionados em Geometria e Dinâmica
  • Bibliografia: artigos e livros selecionados.

Tópicos em Matemática Aplicada
  • Carga horária: 60 horas
  • Ementa: Tópicos selecionados em Matemática Aplicada
  • Bibliografia: artigos e livros selecionados.

Tópicos em Matemática Discreta
  • Carga horária: 30 horas (2 créditos)
  • Ementa: Tópicos selecionados em Matemática Discreta
  • Bibliografia: artigos e livros selecionados.

Tópicos em Otimização
  • Carga horária: 30 horas (2 créditos)
  • Ementa: Tópicos selecionados em Otimização
  • Bibliografia: artigos e livros selecionados.

Programação Inteira
  • Carga horária: 60 horas (4 créditos)
  • Ementa: Modelagem. Estrutura de Otimização Inteira: teoria poliedral, formulações e complexidade, otimalidade, relaxações e limitantes. Problemas bem resolvidos. Unimodularidade total. Algoritmos exatos: enumeração implícita, branch-and-bound, plano de corte (branch-and-cut), relaxação lagrangeana, desigualdades válidas fortes. Aplicações e heurísticas.
  • Bibliografia: a ser indicada pelo docente durante o curso.