Linhas de Pesquisa

O Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada possui cinco linhas de pesquisa, concentradas nas áreas de Matemática Pura e de Matemática Aplicada. Além disso, dentro de cada linha de pesquisa, vários tópicos são estudados, como detalhamos abaixo.

  1. Álgebra
  2. Análise
  3. Geometria e Dinâmica
  4. Matemática Aplicada e Computacional
  5. Matemática Discreta
 

Álgebra

Álgebra é a área da matemática que trata do estudo de conjuntos com operações (principalmente binárias). Tais operações muitas vezes são classificadas entre associativas ou não-associativas. Dentro das álgebras associativas, seus principais objetos de estudo são as álgebras de matrizes no caso de dimensão finita, mas também outras álgebras (de dimensão infinita), como álgebras livres e a álgebra de Grassmann. Além disso, também são estudadas estruturas adicionais nestas álgebras (como graduações, involuções, etc), e álgebras satisfazendo identidades polinomiais. No caso de álgebras não-associativas, um tipo muito especial são as Álgebras de Lie. Estas se destacam pela ampla gama de aplicações dentro da matemática. Nessa linha de pesquisa, focamos principalmente no estudo de representações das álgebras de Lie, em particular, representações de álgebras de Lie de dimensão infinita relacionadas a grupos quânticos como, por exemplo, álgebras de correntes, álgebras de laços, álgebras de funções equivariantes, seus módulos de Weyl, extensões e cohomologias. Um outro tópico desenvolvido no nosso programa dentro da linha de álgebra, é o de bases computacionais. Estes são uma ferramenta muito interessante para a solução de vários problemas de álgebra ou de aplicações, e compõem a ideia central da teoria de anéis, sob a ótica da álgebra computacional, fornecendo soluções algorítmicas para problemas envolvendo ideais.

Dessa forma, no nosso programa, os principais tópicos de pesquisa dentro dessa linha são:

  • Álgebras de Lie e suas representações
  • Álgebras não-comutativas
  • Bases computacionais
  • Identidades polinomiais em álgebras

 

Análise

É a linha de pesquisa onde o conceito de função e suas generalizações são estudadas através de métodos infinitesimais. Na natureza, inúmeros processos e fenômenos naturais tais como as leis do movimento são caracterizados por funções. O estudo de Equações Diferenciais começa com a criação do Cálculo Diferencial e Integral e é guiado, inicialmente, por suas aplicações à Mecânica Clássica. Tratar os problemas utilizando o Cálculo Diferencial foi um enorme estímulo aos físicos e matemáticos na procura de modelos para problemas da Mecânica e de outros ramos da Física, que expressem os fenômenos em termos de Equações Diferenciais. A tentativa de obter uma solução do problema da condução do calor em uma barra satisfazendo, além da equação diferencial, certas condições iniciais ou condições de fronteira exige ferramentas avançadas, que estão relacionadas à Análise Funcional, nesse caso as séries de Fourier. Dessa forma, a Análise Funcional desempenha um papel cada vez mais importante nas Ciências aplicadas, bem como na própria Matemática. Consequentemente, torna-se necessário estudar esse ramo da Matemática para realizar pesquisas na área de Equações Diferenciais. No nosso programa, estes dois aspectos da análise matemática são estudados: Análise Funcional e Equações Diferenciais. A Análise Funcional é o ramo de análise matemática que trata funcionais ou funções de funções. Pode ser caracterizada pelo estudo de espaços vetoriais munidos de alguma estrutura associada ao conceito de limite, como um métrica ou uma topologia, e funcionais definidos sobre esses espaços respeitando essas estruturas em um sentido adequado. Surgiu como uma área distinta no início do século 20 quando foi descoberto que diversos processos matemáticos, da aritmética ao cálculo, poderiam ser generalizados. Dentro desta área existem diversos grupos de interesse como aspectos topológicos e geométricos da teoria dos espaços de Banach, análise harmônica, análise funcional não linear, etc. O estudo moderno desta área envolve diversas disciplinas como teoria da medida, topologia geral e também métodos combinatórios como teoria de Ramsey. As Equações Diferenciais constituem hoje uma ferramenta importantíssima na modelagem matemática e na análise de fenômenos naturais relacionados as mais diversas áreas do conhecimento, como Engenharia, Física, Química, Biologia e Economia. No estudo de tais modelos matemáticos, pode-se identificar alguns estágios de fundamental importância: modelagem do fenômeno de interesse; boa colocação do problema; estabilidade assintótica com relação às perturbações; avaliação do modelo segundo o fenômeno modelado. Tais estágios estão intimamente ligados às propriedades qualitativas do modelo, evidenciando a necessidade da realização de estudos qualitativos cuidadosos das equações diferenciais envolvidas, que podem ser equações diferenciais ordinárias, parciais, funcionais, parciais-funcionais ou discretas. Entender o comportamento qualitativo dessas equações pode ajudar a entender o comportamento desses modelos e a interpretar fenômenos naturais.

Dessa forma, no nosso programa, os principais tópicos de pesquisa dentro dessa linha são:

  • Análise Funcional
  • Equações Diferenciais

 

Geometria e Dinâmica

A linha de pesquisa Geometria e Dinâmica no nosso programa tem dois enfoques principais. Um deles, ligado à Geometria Riemanniana e Topologia diferencial, o outro ligado a aspectos quantitativos da teoria de Sistemas Dinâmicos com tempo discreto e suas propriedades estatísticas. A área de Geometria trata de problemas envolvendo a existência de propriedades métricas (como curvatura positiva ou paralelismo do tensor de curvatura) e simetrias (geralmente expresso através de uma folheação riemanniana). Procura-se, por exemplo, classificar as simetrias possíveis em espaços com as propriedades supracitadas, ou usar da existência de simetrias para encontrar obstrução para a existência de tais propriedades métricas. Já em Sistemas Dinâmicos, o panorama retratado é o estudo qualitativo dos sistemas que evoluem com o tempo através de ferramentas geométricas, topológicas e probabilísticas. Nas pesquisas realizadas neste programa abordamos principalmente os aspectos quantitativos da teoria de Sistemas Dinâmicos com tempo discreto e suas propriedades estatísticas através da Teoria Ergódica, que lida com transformações que preservam uma medida. Em particular temos contribuições no caso em que a medida preservada é infinita, onde a abordagem estatística em geral é mais complicada. A Dinâmica e a Geometria têm interfaces históricas em comum, por exemplo, trabalhos de Hopf e de Anosov provaram a ergodicidade para os fluxos geodésicos em variedades de curvatura negativa. Em geral, quando o sistema em questão tem origem geométrica, como é o caso do fluxo geodésico, espera-se que o estudo de suas características dinâmicas e ergódicas possa ajudar a elucidar propriedades da geometria que deu origem ao objeto tratado.

Dentre os tópicos de pesquisa dentro dessa área destacam-se, no nosso programa, o estudo de:

  • Geometria Riemanniana
  • Sistemas Dinâmicos
  • Teoria Ergódica
  • Topologia Diferencial

 

Matemática Aplicada e Computacional

A linha de pesquisa Matemática Aplicada e Computacional tem um papel crucial no desenvolvimento de tecnologias inovadoras nas mais variadas áreas. Ela é baseada, em sua essência, na modelagem e na resolução de problemas oriundos da indústria e das ciências em geral, constituindo tarefas altamente desafiadoras e estimulantes, tanto do ponto de vista teórico quanto prático. Para atacar tais problemas, tornam-se necessários o desenvolvimento e a implementação computacional de algoritmos eficientes, o que demanda sólidos conhecimentos em Matemática e em Computação.

Os docentes integrantes da linha de pesquisa em Matemática Aplicada e Computacional estão envolvidos nos seguintes temas de pesquisa:

  • Aplicação da teoria de sistemas dinâmicos à biomatemática
  • Dinâmica orbital
  • Métodos computacionais de otimização, e otimização topológica
  • Métodos matemáticos de sistemas dinâmicos e de otimização aplicados à tecnologia e engenharia aeroespacial
  • Modelagem matemática
  • Propriedades e aplicações de polinômios ortogonais

 

Matemática Discreta

A Matemática Discreta é o ramo da Matemática que lida com problemas, teóricos ou práticos, em que predomina o estudo de estruturas (conjuntos, estruturas algébricas, grafos, etc) em que não se requer a noção de continuidade.

Um tópico central da matemática discreta, é a Combinatória onde, além das ferramentas básicas de contagem, empregam-se funções geradoras, relações de recorrência, ação de grupos, etc. Aspectos combinatórios e aritméticos de sequências de números especiais (por exemplo: números de Fibonacci e de Lucas) são também de grande interesse, e ressaltam a relação desta com a Teoria aditiva dos números, onde o interesse é estudar propriedades de operações aditivas em anéis. Em especial, ao consideramos os inteiros, estamos falando das partições de inteiros, área influenciada por grandes matemáticos (incluindo: Euler, Cayley, Gauss, Jacobi, Lagrange, Legendre, Schur, Hardy, Rogers, Ramanujan). Já na Teoria algébrica dos números, um dos principais interesses é obter reticulados em R^n como a imagem de um homomorfismo aplicado a um Z-módulo contido no anel de inteiros algébricos de um algum corpo de números e, com isso, conseguir estudar algumas propriedades de reticulados que são difíceis de serem estudadas em R^n. É de grande interesse classificar famílias clássicas de reticulados em R^n que podem ser obtidas de tal maneira, como por exemplo as famílias Z^n, D^n, A^n, entre outras. Uma das principais aplicações da teoria algébrica dos números se dá na Teoria de Códigos Corretores de Erros e de Criptografia, onde o objetivo é o estudo de propriedades de códigos definidos sobre os anéis dos inteiros e dos inteiros módulo m em relação a uma dada métrica, visando classificar os códigos com respeito a certas aplicações específicas, como a correção de erros e o uso de códigos em criptossistemas pós-quânticos.

Os principais tópicos de pesquisa dentro dessa área no nosso programa são:

  • Códigos Corretores de Erros
  • Combinatória
  • Teoria aditiva dos números
  • Teoria algébrica dos números

 

Publicações do PPGMAT

Publicações de artigos em periódicos por docentes permanentes e alunos

 

Seminários

Os Seminários de Matemática são reuniões semanais já tradicionais entre docentes, alunos e professores visitantes do Instituto de Ciência e Tecnologia (ICT) da Unifesp - São José dos Campos. Estes ocorrem desde 2012 e consistem de apresentações e discussões sobre tópicos de pesquisa de interesse da comunidade do ICT.

 

Próximos Seminários:

  • Data: 04/02/2022, às 10h.
    Sala: meet.google.com/rqn-nxgr-gyt.
    Palestrante: Pedro Henrique Martins de Morais.
    Título: Graduações, Identidades polinomiais graduadas e Propriedade de Specht para a álgebra comutativa de UT_2(K) em característica 2.
    Resumo: Neste seminário apresentaremos alguns resultados recentes em PI-teoria sobre graduações e identidades graduadas da álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem 2 quando essa é definida como uma álgebra comutativa. Mais precisamente, fixado um corpo K, de característica 2, apresentaremos uma classificação das graduações de (UT_2(K), *), a álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem 2 sobre K munida do produto x*y = xy+yx. Exibiremos também geradores para os TG-ideais dessas graduações quando K é infinito, bem como daremos uma resposta positiva para o problema de Specht quando consideramos a variedade das álgebras comutativas gerada por UT_2(K) em cada uma dessas graduações.

Seminários Anteriores:

  • Data: 21/01/2022, às 10h.
    Sala: meet.google.com/rqn-nxgr-gyt.
    Palestrante: Roberto Assis Machado (Clemson University - EUA).
    Título: Códigos FTP para o problema de multiplicação de matrizes Segura Distribuída.
    Resumo: Nesta apresentação abordarei o problema da comunicação eficiente e segura para operar multiplicação de matrizes em sistemas distribuídos. Pesquisadores tem se concentrado na redução do número de servidores como fator para minimizar os custos de comunicação. A intuição é que quanto mais servidores forem usados, maior será o custo de comunicação. Apresentarei que esse não é o caso em geral. A técnica central para demonstrar este fato baseia-se na adaptação de resultados da literatura sobre a reparação de Códigos de Reed-Solomon nos quais, em vez de baixar todo o resultado de uma tarefa de computação, o usuário baixa apenas traços de corpo finito do resultado. Essa técnica será fundamental para a construção dos códigos “Field Trace Polynomial” (FTP), que superam o desempenho de todos os códigos existentes na literatura em alguns regimes.

  • Data: 17/12/2021, às 10h.
    Sala: meet.google.com/rqn-nxgr-gyt.
    Palestrante: Grasiele Cristiane Jorge (UNIFESP).
    Título: Códigos corretores de erros nas métricas p-Lee.
    Resumo: Em 1968, foi conjecturado por Golomb e Welch que não há códigos perfeitos em Z^n na métrica de Lee para qualquer dimensão n = 3 e qualquer raio maior ou igual a 2. Em 2018 esta conjectura completou 50 anos desde que foi enunciada e tem sido a principal responsável pelo avanço na área de códigos na métrica de Lee. Embora existam vários resultados parciais, acredita-se que a conjectura ainda está longe de ser demonstrada. Nesta palestra falaremos sobre códigos perfeitos e quase perfeitos em Z^n na métrica l_p, onde a métrica l_p é a métrica induzida da norma p. Usando algoritmos computacionais, foi demonstrado que para a métrica euclidiana existem apenas 4 raios para os quais existem códigos lineares perfeitos em Z^2 e apenas 2 raios para os quais existem códigos lineares perfeitos em Z^3. Com uma adaptação do algoritmo, foram listados todos os raios para os quais existem códigos quase perfeitos nas dimensões 2 e 3 na métrica euclidiana. Devido à escassez de códigos perfeitos e quase perfeitos em Z^n, outros reticulados ambientes têm sido considerados, como as famílias D_n e A_n. Além do interesse teórico, bons códigos em diferentes reticulados ambientes têm potencial aplicação em telecomunicações.

  • Data: 17/12/2021, às 10h.
    Sala: meet.google.com/rqn-nxgr-gyt.
    Palestrante: Sara Díaz Cardell (UFABC).
    Título: Geradores de sequências baseados em decimação irregular.
    Resumo: Os algoritmos que geram sequências cifrantes a partir de uma chave secreta são chamados de geradores de sequências cifrantes. Dentre os geradores mais usados na criptografia simétrica, a classe dos geradores baseados em decimação irregular é uma das mais populares. A ideia subjacente é a decimação irregular de uma sequência de acordo com os bits de outra. O resultado desse processo é uma nova sequência com boas propriedades criptográficas que será usada como sequência cifrante chave em aplicações criptográficas.

  • Data: 26/11/2021, às 10h.
    Inscrições: https://sistemas.unifesp.br/acad/proec-siex/index.php?page=INS&acao=2&code=21330.
    Sala: meet.google.com/rqn-nxgr-gyt.
    Palestrante: Jhonathan O. Murcia Piñeros (ICT-UNIFESP).
    Título: Efeitos e otimização das manobras aero-assistidas por gravidade na atmosfera alta.
    Resumo: Historicamente múltiplas missões interplanetárias têm implementado manobras assistidas por gravidade durante a passagem ao redor de um planeta, procurando aumentar a energia mecânica total da órbita da espaçonave e controlando o vetor velocidade heliocêntrico resultante, tanto em magnitude quanto em velocidade. No caso de planetas com atmosferas como a Terra, Marte e Vênus, as forças aerodinâmicas podem ser usadas para este tipo de controle, aumentando os efeitos das manobras assistidas por gravidade. Neste seminário será apresentada uma introdução das manobras assistidas por gravidade, ressaltando de forma geral os efeitos da atmosfera alta nas manobras aero-assistidas por gravidade e as limitações da performance aerodinâmica da espaçonave, para formular o problema de controle ótimo.

  • Data: 19/11/2021, às 10h.
    Inscrições: https://sistemas.unifesp.br/acad/proec-siex/index.php?page=INS&acao=2&code=21304.
    Sala: youtu.be/pmhjNd7JICM.
    Palestrante: Marilaine Colnago (UNESP - Rosana).
    Título: Ciência frente à pandemia: como a Matemática contribui no combate ao coronavírus.
    Resumo: Achatamento da curva, platô, pico de crescimento, taxa de reprodução do vírus. Com o avanço da pandemia da COVID-19, essas palavras estão aparecendo em nossos dias cada vez com mais frequência. Mas qual a Matemática por trás de tudo isso? Baseando-se em dados disponíveis sobre casos positivos, internações e óbitos é possível modelar a evolução do vírus, saber, por exemplo, a velocidade com a qual o vírus está se disseminando e ainda estimar quais as cidades têm maior chance de sofrer os impactos da doença. Esses estudos, se apoiados em recomendações de profissionais da saúde, órgãos técnicos competentes e em experiências internacionais bem-sucedidas, podem ajudar na tomada de decisões e na contenção do vírus no país. Dessa forma, essa palestra apresentará a plataforma SP Covid-19 Info Tracker, e suas contribuições no combate à pandemia.

  • Data: 05/11/2021, às 10h.
    Sala: meet.google.com/rqn-nxgr-gyt.
    Palestrante: Maiara Francine Bollauf (SIMULA-UIB - Noruega).
    Título: Aplicações de Reticulados em Comunicações Seguras.
    Resumo: Na era da informação digital, comunicar-se de maneira segura é essencial para garantir privacidade e evitar que dados sigilosos sejam expostos, como senhas e acessos bancários, por exemplo. Contudo, esta segurança vem sendo ameaçada pela iminente criação do computador quântico. Neste seminário vamos discutir segurança da informação sob duas óticas distintas, a de teoria da informação e de criptografia, e compreender o papel fundamental da matemática em tais aplicações.

  • Data: 29/10/2021, às 10h.
    Sala: meet.google.com/rqn-nxgr-gyt.
    Palestrante: Cleber Fernando Colle (UERJ - RJ).
    Título: Não-expansividade e decomposição periódica para configurações com baixa complexidade.
    Resumo: Neste seminário falaremos sobre a Conjectura de Nivat e sua relação com não-expansividade. Apresentaremos avanços recentes na direção da prova da conjectura e problemas relacionados à decomposição periódica.

  • Data: 22/10/2021, às 10h.
    Sala: meet.google.com/rqn-nxgr-gyt.
    Palestrante: Daiana Oliveira dos Santos (EPPEN - UNIFESP).
    Título: Uma introdução ao problema de otimização semidefinida não linear e aplicações.
    Resumo: Neste seminário iremos apresentar uma introdução ao problema de otimização semidefinida não linear. O problema em questão tem recebido bastante atenção principalmente pela grande quantidade de importantes aplicações em diferentes áreas de pesquisa. Concluiremos o seminário discutindo uma aplicação da teoria desenvolvida a um problema em economia, mais especificamente em identificação de fatores de risco financeiro.

  • Data: 15/10/2021, às 10h.
    Sala: meet.google.com/rqn-nxgr-gyt.
    Palestrante: Leonardo Francisco Cavenaghi (University of Fribourg - Suiça).
    Título: Construindo variedades exóticas convenientemente.
    Resumo: Uma tarefa comum na pesquisa em matemática consiste em reconhecer propriedades de determinados objetos a partir das suas representações. De maneira mais clara, existe o conceito de topologia, que grosso modo determina a "natureza contínua" de um objeto: precisamente, se um objeto é constituído por um material maleável o suficiente, a topologia desse objeto carrega toda informação sobre todas as possíveis formas que podemos deformá-lo sem rasgos ou furos; em outras formas. Uma escolha de forma específica, ou seja, uma realização dessas possibilidades, define então uma configuração geométrica. É folclórico que uma xícara de café pode ser deformada em uma rosquinha (um donut) via um tal procedimento contínuo, sendo portanto, do ponto de vista topológico, rosquinha e xícara de café o mesmo objeto. Entretanto, imagine que uma mesma formiga caminhe nessas duas superfícies, o esforço para se mover de um ponto a outro em ambos os cenários é necessariamente diferente, fato esse que destaca que as manifestações geométricas nessas situações não podem ser a mesma. Dito isso, de maneira bastante filosófica poderia-se dizer que a topologia em matemática consiste na "natureza do ser" enquanto a geometria consiste na "manifestação do ser". Considerando essa introdução, a pesquisa atual no que se chama "geometria diferencial" se mostra frutífera em: a partir de propriedades geométricas (manifestações do ser) como podemos entender propriedades topológicas (ou seja, a essência do ser)? A clássica Conjectura de Poincaré (resolvida por Grisha Perelman em 2002-2003 é possivelmente o exemplo moderno mais famoso disso). Por outro lado, surpreendentemente, fixada uma classe de objetos com topologia similar, não existe uma maneira sistemática de entender quais são todas as suas possíveis manifestações, ou seja, todas suas possíveis geometrias. Mais drasticamente, para algumas classes de objetos com topologia bastante simples (para os familiarizados: variedades fechadas e simplesmente conexas) não se conhecem resultados que permitam distinguir duas formas de geometria: geometria de curvatura positiva e geometria de curvatura não negativa. Para que fique ilustrado, um objeto de curvatura positiva soa muito similar a uma bola de futebol (ou a um planeta, o sol, etc) enquanto um objeto de curvatura não-negativa pode ser pensado como um cilindro. Mais drasticamente, existem objetos, a saber, esferas exóticas, que possuem a mesma topologia de esferas clássicas (como as pensadas no espaço euclidiano), mas com natureza suave diferente. Guiados pela discussão citada, nesta palestra discutiremos as diferenças entre as naturezas suaves e contínuas, destacando diferenças cruciais entre objetos clássicos e exóticos, na direção de entender técnicas para realizar diferentes geometrias fixada uma topologia (deformações métricas), sempre que possível construindo diversos novos exemplos (e aplicações), na tentativa de entender até que ponto geometria e topologia (suave) estão amarradas.
  • 1º Semestre de 2021

    • Data: 30/07/2021, às 10h.
      Palestrante: Leandro Cândido Batista (ICT - Unifesp).
      Título: Poucos operadores em espaços de Banach C0(α x L).
    • Data: 16/07/2021, às 10h.
      Palestrante: Gabriel Haeser (IME - USP).
      Título: Avanços recentes em otimização cônica não linear.
    • Data: 02/07/2021, às 10h.
      Palestrante: Guilherme Lima Ferreira da Silva (ICMC - USP).
      Título: O que polinômios ortogonais nos ensinam em física matemática?.
    • Data: 18/06/2021, às 10h.
      Palestrante: Daniel Alberto Morales Ramirez (ICT - Unifesp).
      Título: Continuidade do conjunto de equilíbrios de um problema parabólico não linear com termos concentrados na fronteira.
    • Data: 11/06/2021, às 10h.
      Palestrante: Robson da Silva (ICT - Unifesp).
      Título: Propriedades aritméticas de certas sequências de números inteiros.
    • Data: 28/05/2021, às 10h.
      Palestrante: Angelo Calil Bianchi (ICT - Unifesp).
      Título: Derivações localmente nilpotentes em certas Álgebras de Evolução.
    • Data: 14/05/2021, às 10h.
      Palestrante: Willian Versolati Franca (UFJF).
      Título: Multiplicative linear functionals and Maximal ideals.
    • Data: 07/05/2021, às 10h.
      Palestrante: Thiago Castilho de Mello (ICT - UNIFESP).
      Título: Matrizes triangulares superiores: graduações, involuções e imagens de polinômios.
    • Data: 30/04/2021, às 10h.
      Palestrante: Grasiele Cristiane Jorge (ICT - Unifesp).
      Título: Construções de reticulados via corpos de números.
    • Data: 23/04/2021, às 10h.
      Palestrante: Tiago Rodrigues Macedo (ICT - Unifesp).
      Título: Teoria geométrica de representações.
    • Data: 16/04/2021, às 10h.
      Palestrante: Llohann Dallagnol Sperança (ICT - Unifesp).
      Título: Métodos Elementares em Combinatória Extremal.